Por que menos com menos dá mais?

Quando somos apresentados pela primeira vez aos números negativos, dizem-nos que ao multiplicarmos dois números menores que zero encontramos um número positivo, de modo que, por exemplo, (-2)x(-3) = +6. Isso muitas vezes parece bastante intrigante.

O primeiro ponto que devemos notar é que, partindo das convenções habituais da aritmética sobre os números positivos, temos a liberdade de definir (-2)x(-3) como bem entendermos. Poderia ser -99, ou 127π, se desejarmos. Portanto, a principal questão não é quanto ao valor real, e sim quanto ao valor adequado. Diversas linhas de pensamento convergem para o mesmo resultado - isto é, que (-2)x(-3) = +6. Incluí aqui o sinal + para enfatizar.

Mas por que isto é adequado? Eu gosto da ideia de interpretar um número negativo como uma dívida. Se minha conta no banco contém $-3, então eu devo $3 ao banco. Suponha que minha dívida seja multiplicada por 2 (positivo): nesse caso, ela certamente se transformará em uma divida de $6. Portanto, faz sentido insistir que (+2)x(-3) = -6, e a maioria de nós ficaria satisfeita com isso. No entanto, o que seria (-2)x(-3)? Bem, se o banco cancelar amavelmente duas dívidas de $3 cada uma, eu terei $6 a mais - minha conta se alterou exatamente como se alteraria se eu tivesse depositado $6. Portanto, em termos bancários, queremos que (-2)x(-3) seja igual a +$6.

O segundo argumento é que (+2)x(-3) e (-2)x(-3) não podem ser ambos iguais a +6. Se fosse assim, poderíamos eliminar o -3 e deduzir que +2 = -2, o que é bastante tolo.

O terceiro argumento se inicia ressaltando uma premissa não declarada no segundo argumento: de que as leis habituais da aritmética devem continuar válidas para os números negativos. E prossegue, acrescentando que esse é um objetivo razoável, ainda que seja apenas pela elegância matemática. Se quisermos que as leis habituais continuem válidas, então

(+2) x (-3) + (-2) x (-3) = (2-2) x (-3) = 0 x (-3) = 0

Portanto

-6 + (-2) x (-3) = 0

Somando 6 a ambos os lados, vemos que

(-2) x (-3) = +6

De fato, um argumento semelhante justifica que (+2) x (-3) é igual a -6. 

Juntando todas as ideias: a elegância matemática nos leva a definir que menos vezes menos é igual a mais. Em aplicações como nas finanças, essa escolha se adapta diretamente à realidade. Assim, além de mantermos a simplicidade da aritmética, acabamos com um bom modelo para certos aspectos importantes do mundo real.

Poderíamos fazer a coisa de um jeito diferente, mas acabaríamos complicando a aritmética e reduzindo sua aplicabilidade. Basicamente, essa é a melhor solução. Ainda assim, "menos com menos dá mais" é uma convenção humana consciente, e não um fato inevitável da natureza.

IAN STEWART

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Comentários

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Author: Orestes Alessandro

Eu acredito que nós somos aquilo que compartilhamos, aqui no Pense Vestibular uso minha experiência de 20 anos como professor de cursos pré-vestibular para facilitar a maneira de aprender a matemática.

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9 Comments

  1. Ainda não consegui compreender porque (-)*(-)=(+), poderia me explicar em outras palavras, ou com um exemplo que não envolva o lado Financeiro da matemática, apenas utilizando os sinais de menos(-) e mais(+) e multiplicação(*).
    Desde já agradeço!

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    • Oi Pedro.
      Veja que no terceiro argumento temos uma prova matemática sem o uso da ideia financeira:
      "O terceiro argumento se inicia ressaltando uma premissa não declarada no segundo argumento: de que as leis habituais da aritmética devem continuar válidas para os números negativos. E prossegue, acrescentando que esse é um objetivo razoável, ainda que seja apenas pela elegância matemática. Se quisermos que as leis habituais continuem válidas, então

      (+2) x (-3) + (-2) x (-3) = (2-2) x (-3) = 0 x (-3) = 0

      Portanto

      -6 + (-2) x (-3) = 0

      Somando 6 a ambos os lados, vemos que

      (-2) x (-3) = +6"

      Bom estudo!

  2. olá professor, a mesma regra vale para:

    -2.(-3)= 0 ou +6 ?

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    • Oi Geovani.
      (-2).(-3) é igual a 6 apenas.
      Bom estudo!

    • Oi Maria daqui a pouco você vai entender melhor.
      Bom estudo!

  3. oi, pode me ajudar, estou com a seguinte dúvida. -2 - (-3) -4 = ??? séria o que? estou confusa quando menos, menos, menos é.

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    • Oi Priscila, nesse caso temos -2 + 3 -4 =-3.

  4. "Ainda assim, "menos com menos dá mais" é uma convenção humana consciente, e não um fato inevitável da natureza."
    Desculpe-me o preconceito, mas acho difícil encontrar alguém da área de exatas que conclua um texto desta maneira.
    Muito bom, professor.

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