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Análise Combinatória, Lista de Exercícios

Análise Combinatória – Fatorial e Princípio Fundamental da Contagem

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Posted: 5 às 17:38   /   by   /   comments (0)

combinatória é um ramo da matemática que estuda coleções finitas de objetos que satisfaçam certos critérios específicos, e se preocupa, em particular, com a "contagem" de objetos nessas coleções (combinatória enumerativa) e com a decisão se certo objeto "ótimo" existe (combinatória extrema) e com estruturas "algébricas" que esses objetos possam ter (combinatória algébrica).

 

O assunto ganhou notoriedade após a publicação de "Análise Combinatória" por Percy Alexander MacMahon em 1915. Um dos destacados combinatorialista dos últimos tempos foi Gian-Carlo Rota, que ajudou a formalizar o assunto a partir da década de 1960. O engenhoso Paul Erdos trabalhou principalmente em problemas extremos. O estudo de como contar os objetos é algumas vezes considerado separadamente como um campo da enumeração.

Um exemplo de problema combinatório é o seguinte: Quantas ordenações são possíveis fazer com um baralho de 52 cartas? O número é igual a 52! (ou seja, "cinquenta e dois fatorial"), que é o produto de todos os números naturais de 1 até 52. Pode parecer surpreendente o quão enorme é esse número, cerca de 8,065817517094 × 1067. É algo maior que 8 seguido de 67 zeros. Comparando este número com alguns outros números grandes, ele é maior que o quadrado do Número de Avogadro, 6,022 × 1023, quantidade equivalente a um mol".

Os exercícios a seguir são para praticar e aperfeiçoar suas habilidades em fatorial e princípio fundamental da contagem. 

Use os comentários para tirar suas dúvidas. 

Boas resolucões!

Confira também as aulas sobre análise combinatória no meu novo canal o Pense Matemática:

1) (FUVEST) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas seqüências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas?

a) 3  b) 5  c) 8  d) 12  e) 16

 

2)  (VUNESP) De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor?

a) 120  b) 72  c) 24  d) 18  e) 12

 

3) (FGV - SP) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?

a) 90  b) 100 c) 110  d) 130  e) 120

 

4)   (ITA - SP) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9?

a) 60  b) 120  c) 240  d) 40  e) 80

 

5)   Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um par de sapatos?

a) 52  b) 86  c) 24  d) 32  e) 48

 

6) (UFGO) No sistema de emplacamento de veículos que seria implantado em 1984, as placas deveriam ser iniciadas por 3 letras do nosso alfabeto. Caso o sistema fosse implantado, o número máximo possível de prefixos, usando-se somente vogais, seria:

a)   20  b)   60  c)    120  d)   125  e)   243

 

7) (CEFET-PR) Os números dos telefones da Região Metropolitana de Curitiba tem 7 algarismos cujo primeiro digito é 2. O número máximo de telefones que podem ser instalados é:

a)   1 000 000  b)   2 000 000  c)    3 000 000  d)   6 000 000  e)   7 000 000

 

8) (FATEC-SP) Quantos números distintos entre si e menores de 30 000 tem exatamente 5 algarismos não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}?

a)   90  b)   120  c)    180  d)   240  e)   300

 

9) (FUVEST-SP) Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não tem algarismos adjacentes iguais?

a)   59  b)   9. 84  c)    8. 94  d)   85  e)   95

 

10) (GAMA FILHO-RJ) Quantos são os inteiros positivos, menores que 1 000 que tem seus dígitos pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}?

a)   15  b)   23  c)    28  d)   39  e)   42

 

11) (UECE) A quantidade de números inteiros compreendidos entre os números 1 000 e 4 500 que podemos formar utilizando os algarismos 1. 3. 4. 5 e 7 de modo que não figurem algarismos repetidos é:

a)   48  b)   54  c)    60  d)   72  e)   144

 

12) (UEPG-PR) Quantos números de pares, distintos, de quatro algarismos, podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4 sem os repetir?

a)   156  b)   60  c)    6  d)   12  e)   216

 

13) (FUVEST-SP) Sendo A = {2, 3, 5, 6, 9, 13} e B=\left \{ a^{b}/a\in A, b \in B, a \neq b \right \}, o número de elementos de b que são pares é:

a)   5  b)   8  c)    10  d)   12  e)   13

 

14) (PUC - SP) A expressão  \frac{n!}{(n+2)!} é igual a:

a) n/2

b) \frac{1}{(n+2).(n+1)}

c) \frac{n}{(n+2).(n+1)}

d) 1/n

e) \frac{n}{(n+2)}

 

15)  (FMABC - SP) Simplifique  \frac{101!+102!}{100!}

a)   101 103

b)   102!

c)    100 000

d)   101!

e)   10 403

 

16) (FMT - SP) Simplificando-se a expressão \frac{\left ( n+1 \right )!.(n+2)}{(n-1)!} , obtém-se:

a)   2

b)   (n+1). (n+2)

c)    n. (n+1). (n + 2)

d)   n. (n + 2)

e)  \frac{\left ( n+1 \right ).(n+2)}{(n-1)}

 

17) (PUC - SP) Se (n - 6)! = 720 então:

a)   n = 12  b)   n = 11  c)    n = 10  d)   n = 13  e)   n = 14

 

18) Os valores de x que verificam a expressão \frac{(x+2)!}{x!}=20 são:

a)   3 ou -6  b)   6  c)    -3 ou 6  d)   3  e)   -3

 

19) (UFPA) Simplificando \frac{(n+1)!+n!}{(n+2)!} , obtém-se

a) \frac{1}{n+2}

b) \frac{n!}{n+1}

c) \frac{1}{(n+2)(n+1)}

d) \frac{1}{(n+1)}

e) \frac{n!}{(n+2)}

 

20)  O conjunto solução da equação (x!)^{2}=36 é:

a)   {3, -3}

b)   {6, -6}

c)    {3, 6}

d)   {6}

e)   {3}

 

21) (FDBEF - DF) Sendo \frac{(n+1).n!}{(n+2)!}=\frac{1}{10}, e tendo em vista que n > 0, o valor de n é:

a)   6  b)   8  c)    10  d)   12  e)   9

 

22) (PUC - PR) A soma das raízes da equação (5x - 7)! = 1 vale:

a)   5  b)   7  c)    12  d)   3  e)   4

 

23) (UEL - PR) Se o número natural n é tal que \frac{n!+2.(n-1)!}{(n-2)!}=18, então n é um número:

a)   menor que 3

b)   divisível por 5

c)    divisível por 2

d)   maior que 10

e)   múltiplo de 7

 

24) (CEFET - PR) O valor de n para que \frac{n!}{n+1}=(n+1)! é:

a)   0  b)   1  c)    2  d)   3  e)   4

 

25) (FGV - SP) A expressão \frac{(K)^{3}}{[(K-1)!]^{2}} , é igual a:

a)   K3

b)   k3 (K - 1)!

c)    [(K-1)!]2

d)   (K!)2 ]

e) k3. [(K-1)!]2

 

26)   (FG - SP) n^{2}.(n-2)!.(1-\frac{1}{n}) vale, para n≥2

a)   n!

b)   (n+1)!

c)    (n-1)!

d)   (n+1)!(n-1)!

e)   nda

 

27)  (CEFET - PR) A expressão fatorada de \frac{3n![3(n+1)]!}{(3n)!3(n+1)!} , é:

a)   1

b)  \frac{n+1}{n!}

c) \frac{3n+1}{n+1}

d)   3. (3n + 2) (3n + 1)

e)  \frac{(3n+2).(3n+1)}{n!}

 

28) (PUC - RS) A expressão (n - 1)! [(n+1)! - n!] equivale a:

a)   n!

b)   (n-1)!

c)    (n+1)!

d)   (n!)2

e)   [(n-1)!]2

 

29)  (UFCE) A soma e o produto das raízes da equação (x + 1)! = x! + 6x são:

a)   3 e 6

b)   3 e 3

c)    6 e 1

d)   3 e 0

 

 

Gabaritos

1)     C

2)     C

3)     E

4)     B

5)     E

6)     D

7)     A

8)     D

9)     E

10)  D

11)  C

12)  B

13)  C

14)  B

15)  E

16)  C

17)  A

18)  D

19)  D

20)  E

21)  B

22)  D

23)  C

24)  A

25)  B

26)  A

27)  D

28)  D

29)  D

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