Veja a seguir as questões da prova de matemática da primeira fase da Fuvest 2012.

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1) Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher.
Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes
inicialmente na festa era igual a
a) 100

b) 105

c) 115

d) 130

e) 135

Gab D

2) O segmento AB é um lado de um hexágono regular de área  . O ponto P pertence a mediatriz de tal modo que a área do triângulo PAB vale . Então,  a distância do ponto P ao segmento AB é igual a

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

Gab E

3) O número real x, com , satisfaz a equação .

Então, cos2x + senx vale

a) 1/3

b) 2/3

c) 7/9

d) 8/9

e) 10/9

Gab E

4) Considere a função

a qual está definida para . Então, para todo   e , o produto f(x).f(-x) é igual a

a) -1

b) 1

c) x + 1

d) x² + 1

e) (x -1)²

Gab B

5) Em um plano, é dado um polígono convexo de seis lados, cujas medidas dos ângulos internos, dispostas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética. A medida do maior ângulo é igual a 11 vezes a medida do menor. A soma das medidas dos quatro menores ângulos internos desse polígono, em graus, é igual a

a) 315

b) 320

c) 325

d) 330

e) 335

Questão anulada, pois o polígono citado não existe.

6) Na figura, tem-se AE paralelo a CD, BC paralelo a DE, AE = 2, . Nessas condições, a distância do ponto E ao segmento AB é igual a

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

Gab A

7) Considere a matriz

em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa  cuja primeira coluna é

a soma dos elementos da diagonal principal de  

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

Gab A

8 ) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas condições, o raio de C vale

a) 

b) 

c) 5

d) 

e) 10

Gab C

9 ) Considere todos os pares ordenados de números naturrais (a,b), em que  e . Cada um desses pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a,b) de tal forma que a fração a/b seja irredutível e com denominador par?

a) 7/27

b) 13/54

c) 6/27

d) 11/54

e) 5/27

Gab E

10) Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

Gab D

11) Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do temp, de acordo com a relação , em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa da substância em gramas e c, k são constantes positivas. Sabe-se que mo gramas dessa substância foram reduzidas a 20% em 10 anos. A que porcentagem de mo ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos?

a) 10%

b) 5%

c) 4%

d) 3%

e) 2%

Gab C

12) Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois artrópodes distintos. Eles serão selecionados, ao acaso, da seguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião e gafanhoto.

Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a pesquisa de Francisco não sejam insetos?

a) 49/144

b) 14/33

c) 7/22

d) 5/22

e) 15/144

Gab C

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