Veja a seguir a resolução da prova AMARELA de Matemática do Vestibular UFSC 2012, para maiores informações acesse o site oficial do concurso http://www.vestibular2012.ufsc.br/index.php  

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Questão 1

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) Se f: R→R é uma função definida por f(x) = senx, então f(10) > 0.

02) Sejam f e g funções reais definidas por  e g(x) = cos x para todo . Então existe uma infinidade de pontos em que os gráficos destas funções se interceptam.

04) Na Figura 1, a reta r é tangente à circunferência λ, de centro no ponto O(0,0) e raio 1. Para  as coordenadas do ponto P são . 

08) O valor numérico da expressão cos36° + cos 72° + cos 108° + cos144° é zero.

16) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 20 - 3.( 2x + 15) < 0 é -5.

Resolução

Questão 2

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) No plano cartesiano, os pontos de coordenadas A(0,0), B (2,2) e  são os vértices de um triângulo isósceles.

02) A reta r de equação y = 5x - 3 intercepta o gráfico da função real definida por f(x) = x²+x + 1 em um único ponto.

04) Se a reta r passa pelos pontos A(6,0) e B(0,3) do plano cartesiano, então a equação da circunferência tangente à reta r com centro em O(0,0) é x² + y² = 36/5.

08) Um viajante sobe uma trilha com 30° de inclinação constante a partir da base de um árvore, conforme a Figura 2. Após subir 25m em linha reta e estando em pé, o viajante verifica que seus olhos estão no mesmo nível do topo da árvore. Se a altura do viajante é 1,80m e seus olhos estão a 10cm do topo de sua cabeça, a árvore mede 14,30m.

Resolução

Questão 3

01) O volume do tetraedro ABCD, inscrito no cubo de aresta 0,3dm, como mostra a Figura 3 abaixo, é de 0,09 cm³.

02) Dentre todos os triângulos com dois vértices em uma circunferência dada e o terceiro vértice no centro da circunferência, o de maior área é o triângulo equilátero.

04) Na Figura 4 abaixo, o ponto M é o ponto médio do segmento AB; D é um ponto no lado AC tal que o segmento BD intersecta o segmento CM no ponto E, de tal modo que BE/ED = 2; logo, a semirreta AE intersecta o lado BC em seu ponto médio F.

08) Se o menor ângulo interno de um polígono convexo é θ = 139° e os outros ângulos do polígono formam com θ uma progressão aritmética cuja razão é 2°, então esse polígono tem exatamente 12 lados.

16) Se um quadrilátero tem diagonais congruentes, então ele é um retângulo.

Resolução

Questão 4

Calcule a área, em cm², de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 10 cm e cujo raio da circunferência inscrita mede 1 cm. A seguir, assinale a resposta obtida no cartão-resposta.

Resolução

Questão 5

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) A proprietária de um bufê divide os gastos com um café da manhã em duas partes: a primeira compreende os gastos fixos para qualquer número de convidados e a segunda os gastos por convidado. Ele calcula que o gasto total para 40 convidados é de R$ 440,00 e para 100 convidados é de R$ 800,00. Assim, um café da manhã para 55 convidados terá um gasto total de R$ 605,00.

02) Em uma esfera E1 de raio R1 inscreve-se um cubo C1. Neste cubo inscreve-se uma esfera E2; nesta esfera inscreve-se um cubo C2 e assim sucessivamente. Os raios das esferas assim construídas formam uma progressão geométrica infinita cujo primeiro termo é R1. A soma dos termos desta progressão geométrica é .

04) Considere uma progressão aritmética de k termos positivos, cujo primeiro termo a é igual à razão. O produto dos k termo desta progressão é o número 

08) Considere uma progressão aritmética (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9). Com os termos desta progressão construímos a matriz . A matriz A construída desta forma é inversível.

16) Dada uma progressão geométrica (a1, a2, a3, ..., ak) com k termos estritamente maiores do que zero, a sequência (b1, b2, b3, ..., bk) dada por  para todo n, , é uma progressão aritmética.

Resolução

Questão 6

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) As únicas possibilidades para o algarismo das unidades do número natural , para qualquer número natural n, são 1, 3, 7 e 9.

02) Se a, b e c são números primos diferentes entre si, então S = a.b + a.c + b.c é sempre um número ímpar.

04) Se uma garrafa de refrigerante custa R$ 3,80 e o refrigerante custa R$ 3,20 a mais do que a embalagem, então a embalagem custa R$ 0,60.

08) O valor numérico de   é zero.

Resolução

item 08

Questão 7

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) Um número de três algarismos é chamado palíndromo quando o algarismo das unidades é igual ao algarismo das centenas. Por exemplo, o número 464 é um palíndromo. Escolhe-se aleatoriamente um número dentre todos os números de três algarismos formados pelos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. A probabilidade de o número escolhido ser um palíndromo é 25%.

02) A Figura 5 representa o mapa de uma cidade fictícia na qual há nove ruas na direção vertical e cinco ruas na direção horizontal. Para ir do ponto A até o ponto B, os deslocamentos permitidos são sempre no sentido Oeste-Leste(D) e/ou Sul-Norte(C), como exemplificado na Figura 5, respectivamente, pelas letras D(direita) e C (para cima). Nestas condições existem 495 caminhos diferentes para ir do ponto A até o ponto B.

04) Um número inteiro de 1 a 260 é escolhido aleatoriamente. A probabilidade de que esse número seja divisível por 7 é 9/65.

08) Com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4 podemos formar 24 números pares com três algarismos diferentes e 24 números ímpares com três algarismos diferentes.

Resolução

Questão 8

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) O polinômio  admite pelo menos uma raiz real.

02) O resto da divisão do polinômio  por Q(x) = x +1 é 10.

04) O conjunto solução da equação   no conjunto IR é S = {7,-2}.

08) O conjunto solução da inequação  no conjunto IR é .

16) Sejam b, c, α e β números reais, com α e β raízes da equação x² -x +c. Se α + 1 e β + 1 são raízes da equação x² -bx + 2 = 0, então b + c = 3.

32) Para todos os números reais a e b tem-se .

Resolução

itens 16 e 32

Questão 9

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) O número  é um múltiplo de 4.

02) O sistema   é possível e indeterminado.

04) Considere x um número real estritamente positivo. Se o expoente x no quinto termo do desenvolvimento de  é um número inteiro, então n é um número par.

08) Na Figura 6, a, b e c são medidas dos lados do triângulo ABC e senA, senB e senC são os senos dos ângulos A, B, C.

Então podemos afirmar que o determinante da matriz  é igual a zero.

Resolução

Questão 10

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) O sistema  é impossível quando a = 1.

02) Para todo número real x > 1 e para todo número natural n tem-se .

04) A função  dada por g(x) = x² - 2x + 1 é inversível.

08) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = senx e g(x) = x² + 1.

Então (fog)(x) = (fog)(-x) para todo x real.

Resolução

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