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Lista de Exercícios, Questões Resolvidas, UFSC, Vestibular

Resolução da prova de Matemática da UFSC 2012

F3_ufsc2012
Posted: 5 às 15:54   /   by   /   comments (16)

Veja a seguir a resolução da prova AMARELA de Matemática do Vestibular UFSC 2012, para maiores informações acesse o site oficial do concurso http://www.vestibular2012.ufsc.br/index.php  


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Questão 1

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) Se f: R→R é uma função definida por f(x) = senx, então f(10) > 0.

02) Sejam f e g funções reais definidas por f(x)=2^{x} e g(x) = cos x para todo x\in R. Então existe uma infinidade de pontos em que os gráficos destas funções se interceptam.

04) Na Figura 1, a reta r é tangente à circunferência λ, de centro no ponto O(0,0) e raio 1. Para \alpha =\frac{\pi }{6} as coordenadas do ponto P são \left ( \frac{2}{\sqrt{3}},0 \right )

08) O valor numérico da expressão cos36° + cos 72° + cos 108° + cos144° é zero.

16) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 20 - 3.( 2x + 15) < 0 é -5.

Resolução

Questão 2

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) No plano cartesiano, os pontos de coordenadas A(0,0), B (2,2) e C(1+\sqrt{3},1-\sqrt{3}) são os vértices de um triângulo isósceles.

02) A reta r de equação y = 5x - 3 intercepta o gráfico da função real definida por f(x) = x²+x + 1 em um único ponto.

04) Se a reta r passa pelos pontos A(6,0) e B(0,3) do plano cartesiano, então a equação da circunferência tangente à reta r com centro em O(0,0) é x² + y² = 36/5.

08) Um viajante sobe uma trilha com 30° de inclinação constante a partir da base de um árvore, conforme a Figura 2. Após subir 25m em linha reta e estando em pé, o viajante verifica que seus olhos estão no mesmo nível do topo da árvore. Se a altura do viajante é 1,80m e seus olhos estão a 10cm do topo de sua cabeça, a árvore mede 14,30m.

Resolução

Questão 3

01) O volume do tetraedro ABCD, inscrito no cubo de aresta 0,3dm, como mostra a Figura 3 abaixo, é de 0,09 cm³.

02) Dentre todos os triângulos com dois vértices em uma circunferência dada e o terceiro vértice no centro da circunferência, o de maior área é o triângulo equilátero.

04) Na Figura 4 abaixo, o ponto M é o ponto médio do segmento AB; D é um ponto no lado AC tal que o segmento BD intersecta o segmento CM no ponto E, de tal modo que BE/ED = 2; logo, a semirreta AE intersecta o lado BC em seu ponto médio F.

08) Se o menor ângulo interno de um polígono convexo é θ = 139° e os outros ângulos do polígono formam com θ uma progressão aritmética cuja razão é 2°, então esse polígono tem exatamente 12 lados.

16) Se um quadrilátero tem diagonais congruentes, então ele é um retângulo.

Resolução

Questão 4

Calcule a área, em cm², de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 10 cm e cujo raio da circunferência inscrita mede 1 cm. A seguir, assinale a resposta obtida no cartão-resposta.

Resolução

questão-aberta-ufsc-2012

Questão 5

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) A proprietária de um bufê divide os gastos com um café da manhã em duas partes: a primeira compreende os gastos fixos para qualquer número de convidados e a segunda os gastos por convidado. Ele calcula que o gasto total para 40 convidados é de R$ 440,00 e para 100 convidados é de R$ 800,00. Assim, um café da manhã para 55 convidados terá um gasto total de R$ 605,00.

02) Em uma esfera E1 de raio R1 inscreve-se um cubo C1. Neste cubo inscreve-se uma esfera E2; nesta esfera inscreve-se um cubo C2 e assim sucessivamente. Os raios das esferas assim construídas formam uma progressão geométrica infinita cujo primeiro termo é R1. A soma dos termos desta progressão geométrica é S=\frac{R_{1}}{2}.(\sqrt{3}+3).

04) Considere uma progressão aritmética de k termos positivos, cujo primeiro termo a é igual à razão. O produto dos k termo desta progressão é o número P=a^{k}.k!

08) Considere uma progressão aritmética (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9). Com os termos desta progressão construímos a matriz A=\begin{bmatrix} a1_{} & a1 & a3\\a4 & a5 & a6\\ a7 &a8 & a9 \end{bmatrix}. A matriz A construída desta forma é inversível.

16) Dada uma progressão geométrica (a1, a2, a3, ..., ak) com k termos estritamente maiores do que zero, a sequência (b1, b2, b3, ..., bk) dada por b_{n}=loga_{n} para todo n, 1\leq n\leq k, é uma progressão aritmética.

Resolução

Questão 6

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) As únicas possibilidades para o algarismo das unidades do número natural 3^{n}, para qualquer número natural n, são 1, 3, 7 e 9.

02) Se a, b e c são números primos diferentes entre si, então S = a.b + a.c + b.c é sempre um número ímpar.

04) Se uma garrafa de refrigerante custa R$ 3,80 e o refrigerante custa R$ 3,20 a mais do que a embalagem, então a embalagem custa R$ 0,60.

08) O valor numérico de A=\sqrt{\frac{5}{6}-\sqrt{\frac{2}{3}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{3}}  é zero.

Resolução

item 08

Questão 7

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) Um número de três algarismos é chamado palíndromo quando o algarismo das unidades é igual ao algarismo das centenas. Por exemplo, o número 464 é um palíndromo. Escolhe-se aleatoriamente um número dentre todos os números de três algarismos formados pelos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. A probabilidade de o número escolhido ser um palíndromo é 25%.

02) A Figura 5 representa o mapa de uma cidade fictícia na qual há nove ruas na direção vertical e cinco ruas na direção horizontal. Para ir do ponto A até o ponto B, os deslocamentos permitidos são sempre no sentido Oeste-Leste(D) e/ou Sul-Norte(C), como exemplificado na Figura 5, respectivamente, pelas letras D(direita) e C (para cima). Nestas condições existem 495 caminhos diferentes para ir do ponto A até o ponto B.

04) Um número inteiro de 1 a 260 é escolhido aleatoriamente. A probabilidade de que esse número seja divisível por 7 é 9/65.

08) Com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4 podemos formar 24 números pares com três algarismos diferentes e 24 números ímpares com três algarismos diferentes.

Resolução

Questão 8

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) O polinômio P(x)=x^{15}-3x^{3}+3x^{2}-x+1 admite pelo menos uma raiz real.

02) O resto da divisão do polinômio P(x)=x^{72}+3x^{60}-2x^{15}+x^{10}-2x^{5}+1 por Q(x) = x +1 é 10.

04) O conjunto solução da equação \sqrt{3x+15}=x-1  no conjunto IR é S = {7,-2}.

08) O conjunto solução da inequação \frac{x^{2}-3x+1}{x}\leq 1 no conjunto IR é S=(-\infty ,0).

16) Sejam b, c, α e β números reais, com α e β raízes da equação x² -x +c. Se α + 1 e β + 1 são raízes da equação x² -bx + 2 = 0, então b + c = 3.

32) Para todos os números reais a e b tem-se \sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}.

Resolução

itens 16 e 32

Questão 9

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) O número A=101^{50}-1 é um múltiplo de 4.

02) O sistema {\align*} x+y+z &= 1 \\ 2x+2y+3z &= 2 \\ 3x+3y+3z &= 0 \ {\align*}  é possível e indeterminado.

04) Considere x um número real estritamente positivo. Se o expoente x no quinto termo do desenvolvimento de \left ( \sqrt{x}+\frac{1}{x} \right )=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} ( \sqrt{x})^{n-k}\left ( \frac{1}{x} \right )^{k} é um número inteiro, então n é um número par.

08) Na Figura 6, a, b e c são medidas dos lados do triângulo ABC e senA, senB e senC são os senos dos ângulos A, B, C.

Então podemos afirmar que o determinante da matriz A=\begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ a & b &c \\ senA& senB & senC \end{bmatrix} é igual a zero.

Resolução

Questão 10

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) O sistema {\align*} x+y &=1 \\ x+a^{2}y&=a {\align*} é impossível quando a = 1.

02) Para todo número real x > 1 e para todo número natural n tem-se (1+x)^{n}\geq 1+nx.

04) A função g:[-1,+\infty )\to[0,+\infty ) dada por g(x) = x² - 2x + 1 é inversível.

08) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = senx e g(x) = x² + 1.

Então (fog)(x) = (fog)(-x) para todo x real.

Resolução

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Comentários

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Comments (16)

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  • 3 às 13:58 Daniele

    Cruzes, muito difícil!!!

    Assim eu desanimo de estudar.

    Reply
    • 3 às 21:06 @Prof_Orestes

      Oi Daniele, a melhor dica é manter o foco e dedicar-se muito!
      Bom estudo!

  • 6 às 14:20 renato

    Professor, por que na questão 8, ítem 04, a solução -2 não convém?

    Reply
    • 6 às 15:56 @Prof_Orestes

      Oi Renato, se você substituir o -2 na expressão terá como resposta de uma raiz quadrada um valor negativo, o que não é possível dada a apresentação da expressão.
      Bom estudo!

    • 6 às 18:10 renato

      Ah sim sim, eu esqueci que a resposta pode ser +-9 e não apenas 9. Obrigado e parabéns pelo site.

  • 5 às 14:42 leticia

    e verdade pra manter foco tem que estuda muito bj

    Reply
  • 19 às 15:56 douglas

    professor, a figura da questao 9 item 08 está errada?

    Reply
    • 19 às 19:20 @Prof_Orestes

      Oi Douglas.
      É a questão da prova original, que eu saiba ela esta correta.
      Bom estudo!

  • 9 às 21:03 Letícia Tomazella Moraes

    A resolução 08, da questão 03 está errada, pois é verdadeira a afirmação, já que n=30 não convém pois formará um angulo de 197 graus, o que seria um absurdo se tratando de um angulo de um polígono convexo, que teria que ser menor que 180 graus sempre.

    Reply
    • 9 às 21:35 Orestes Alessandro

      Verdade Letícia! Percebi agora o equívoco, será corrigido.
      Obrigado pela colaboração!

    • 9 às 21:41 Letícia Tomazella Moraes

      Imagina, acontece 🙂

  • 2 às 2:18 Davidson Emmanuel

    Cadê a resolução da questão n°4???Calcule a área, em cm², de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 10 cm e cujo raio da circunferência inscrita mede 1 cm. A seguir, assinale a resposta obtida no cartão-resposta.

    Reply
    • 2 às 9:26 Orestes Alessandro

      Obrigado pela dica Davidson, o link estava quebrado.
      Agora já está lá.
      Bom estudo!

  • 2 às 22:54 Davidson Emmanuel

    Olá,prof.Orestes!Tava "quebrando a cabeça"pra fazer essa questão sozinho,infelizmente não consegui.Agora com sua resolução vou observar onde errei.Obrigado pela gentileza de colocar ela de volta tão rápido!Abraço.

    Reply
  • 22 às 13:08 KEITH NICOLETTI

    Na questão 7 exercicio 1)
    o resultado é 20% , como voce achou isso Professor?
    ja fiz e refiz e o meu resultado sempre da 25%

    Ex: 25 = 1
    . ---- --- = 25%
    , 125 5

    . 125=5 => 25%

    outro modo q eu fiz tbm fooi ;

    Ex: 25 = 1
    . ---- --- = 25%
    , 125 5
    * 625/25= 25%

    me ajuda D;

    Reply
    • 22 às 18:09 Orestes Alessandro

      Oi Keith.

      Observe que 25/125 é de forma simplificada igual a 1/5 que vale 0,2. Para transformar 0,2 em %, vamos multiplicar por 100, logo, teremos 20%.
      Bom estudo!
      Conheça o nosso novo projeto o Pense Matemática.
      Obrigado pela visita.